Frecuencias características, sobretono y armónica

Consideremos las posibles ondas estacionarias que se pueden originar en una cuerda de longitud L cuyos extremos están fijos (figura abajo). Cuando la cuerda empieza a vibrar, los trenes de onda incidente y reflejado viajan en direcciones opuestas, con una misma longitud de onda. Los puntos extemos fijos representan las condiciones de frontera que restringen el número de posibles longitudes de onda que producirán las ondas estacionarias. Estos puntos extremos deben ser nodos de desplazamiento para cualquier patrón de ondas resultante.   
    

La onda estacuonaria mas sencilla posible se presenta cuando las longitudes de onda de las ondas incidentes y reflejadas son equivalentes al doble de la longitud de la cuerda. La onda estacionaria consiste en un bucle que tiene puntos nodales en cada extremo, como se ve en la figura (a). Este patrón se conoce como el modo fundamental de oscilación. Los modos superiores de oscilación se producirán para longitudes de insa cada vez más cortas. En la figura se observa que las longitudes de onda permitidas son las siguientes:

o en forma de ecuación, 

Las frecuencias correspondientes de vibración son, partiendo de que v = fλ

donde v es la rapidez de las ondas transversales. Esta rapidez es la misma para todas las longitudes de onda, puesto que depende tan sólo de las características del medio vibrante. A las frecuencias que se obtienen mediante la ecuación anterior se les llama frecuencias características de vibración. En términos de la tensión F de la cuerda y de la densidad lineal μ, las frecuencias características son las siguientes:     

La frecuencia más baja posible (v/2L ) se conoce como frecuencia fundamental f1. Las otras frecuencias, que son múltiplos enteros de la fundamental, se conocen como sobretonos. 

La serie completa, está conformada por la frecuencia fundamental y sus sobretonos, y se le conoce como serie armónica. La fundamental es la primera armónica; el primer sobretono (f2 = 2f1) es la segunda armónica; el segundo sobretono (f3 = 3f1) es la tercera armónica, y así sucesivamente.

Ondas estacionarias

Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a través de un medio.  

Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren.      

Hay ciertos puntos a lo largo de la cuerda que permanecen en reposo. Estas posiciones, llamadas nodos. Entre los puntos nodales, las partículas de la cuerda se mueven hacia arriba y hacia abajo con movimiento armónico simple. Los puntos de máxima amplitud se presentan a la mitad de la distancia entre los nodos y se llaman antinodos.  

El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda.      

"La distancia entre nodos alternados o antinodos alternados en una onda estacionaria es una medida de la longitud de onda de las ondas componentes."    

  

Principio de superposición

La rapidez de una onda transversal se determina por medio de la tensión de la cuerda y su densidad lineal. Puesto que estos parámetros son función del medio y no de la fuente, cualquier onda transversal tendrá la misma rapidez para una determinada cuerda bajo tensión constante. Sin embrago, la frecuencia y la amplitud pueden variar en forma considerable.   

Cuando dos o más trenes de ondas existen simultánemente en el mismo medio, cada onda recorre el medio como si las otras no estuvieran presentes.

   

La onda resultante es una superposición de las ondas componentes. Es decir, el desplazamiento que resulta de una sola partícula en la cuerda que vibra es la suma algebraica de los desplazamientos que cada onda produciría, independientemente de las demás. Este es el principio de superposición: 

  

Cuando dos o más ondas existen simultáneamente en el mismo medio, el desplazamiento resultante en cualquier punto y en cualquier instante es la suma algebraica de los desplazamientos de cada onda.  

El principio de superposición se aplica  únicamente a medios de tipo lineal, es decir, a aquellos cuya respuesta es directamente proporcional a la causa. Además, la suma de los desplazamientos es algebraica sólo si las ondas tienen el mismo plano de polarización.      

  En este ejemplo podemos observar una aplicación de este principio. Las dos ondas, representadas por líneas continuas y discontinuas, se superponen para formar la onda resultante indicada por la línea gruesa. En la figura (a) la superposición da por resultado una onda de mayor amplitud, conocida como interferencia constructiva. La interferencia destructiva se presenta cuando la amplitud resultante es más pequeña como se ve en la figura (b).      

Energía de una onda periódica

Cada partícula en una onda periódica oscila con un movimiento armónico simple determinado por la fuente de la onda. El contenido de energía de una onda puede analizarse considerando el movimiento armónico de las partículas en forma individual. Mientras la onda periódica recorre la cuerda, cada partícula oscila hacia atrás y hacia adelante respecto a su propia posición de equilibrio. 

En el movimiento armónico, la velocidad máxima de una partícula que oscila con una frecuencia f  y una amplitud A está dada por:

Cuando una partícula tiene esta rapidez, está pasando por su posición de equilibrio, donde su energía potencial es cero y su energía cinética es máxima. De modo que la energía total de la partícula es:

A medida que una onda periódica pasa a través de un medio, cada elemento de éste realiza trabajo continuamente sobre los elementos adyacentes. Por lo tanto, la energía que se transmite a lo largo de la cuerda vibrante no se confina a una sola posición. El contenido de energía de toda la cuerda es la suma de las energías individuales de las partículas que la forman. Si m representa la masa total de la cuerda en vez de la masa de cada partícula, en una cuerda de longitud L, la energía de la onda por unidad de longitud está dada por:

Sustituyendo μ para la masa por unidad de longitud, 

 


 

"La energía de onda es proporcional al cuadrado de la frecuencia (f), al cuadrado de la amplitud (A) y a la densidad lineal (μ) de la cuerda."     

Debe tomarse en cuenta que la densidad no es función de la longitud de la cuerda. Esto es cierto, puesto que la masa aumenta en proporción a la longitud L, de modo que μ es constante para cualquier longitud. Suponga que la onda viaja por la longitud L de una determinada cuerda con una rapidez v. El tiempo t necesario para que la onda recorra esta longitud es:

Si la energía en esta longitud de cuerda se representa por E, la potencia P de la onda está dada por:

 Esto representa la razón de propagación de la energía por la cuerda. La sustitución a partir de la ecuación de la energía por unidad de longitud nos da:

"La potencia de la onda es directamente proporcional a la enegía por unidad de longitud y a la rapidez de propagación de la onda."  

El hecho de que la energía de la onda y la potencia dependan de f2 y A2, como lo indican las ecuaciones, es una conclusión general para todo tipo de ondas.

Frecuencia de ondas

La frecuencia tiene una relación inversa con el concepto de longitud de onda, a mayor frecuencia menor longitud de onda y viceversa. La frecuencia f es igual a la velocidad v de la onda, dividido por la longitud de onda λ (lambda):

Cuando las ondas viajan de un medio a otro, como por ejemplo de aire a agua, la frecuencia de la onda se mantiene constante, cambiando sólo su longitud de onda y la velocidad.
 

Frecuencia

Es el número de oscilaciones o variaciones de cualquier fenómeno o suceso periódico por segundo. La frecuencia es una magnitud objetiva y mensurable referida a formas de onda periódicas. Tiene que ver con cuántos ciclos por segundo tiene que dar la onda, indicando la idea de rapidez con que se producen.  

La frecuencia del sonido se mide en ciclos por segundo (s^-1) o en Herz o hercios (Hz), en honor a Heinrich Rudolf Hertz. Un hercio es aquel suceso o fenómeno repetido una vez por segundo. Así, dos hercios son dos sucesos por segundo, etc. La medida se puede iniciar en cualquier parte de la onda, siempre y cuando termine donde empezó. El número de veces que esto pasa en un segundo es la frecuencia de la onda. Entre más ciclos por segundo más alto el sonido.

Cada frecuencia de un sonido produce un tono distinto. Esta unidad se llamó originariamente ciclo por segundo (cps) y aún se sigue utilizando. Otras unidades para indicar la frecuencia son revoluciones por minuto (rpm) y radianes por segundo (rad/s).      Un método alternativo para calcular la frecuencia es medir el tiempo entre dos repeticiones (periodo) y luego calcular la frecuencia (f) recíproca de esta manera: